复变函数问题一则
网友提了一个关于复变函数的小问题，如下：
如果复数z的模长等于1，求z^3+3*z+2*I的模长的最大值，其中I是虚数单位。
那么，如果使用Mathematica处理这个问题，会有什么好事发生呢？
下面，我们就来看看吧！
操作方法
- 01
首先，复数z的模长等于1，那么，z在复平面上的轨迹曲线就是单位圆。设z=E^(I t)，t的取值范围为0到2*π。这样，所有满足要求的z都囊括在内了。
- 02
看看z^3+3*z+2*I在复平面上的图形，是什么样子滴！ 用ComplexExpand展开z^3+3*z+2*I，然后就可以看到图形对应的参数方程（分别是实部和虚部）。曲线上，离原点最远的点，就是所有表达式的模长最大值。
- 03
直接用Norm求表达式的模长,是不行的。因为Mathematica把t视为全体复数了。 大家可能要问，为什么作图的时候，不会发生这个情况？ 其实，作图的时候，绘图范围已经把t限制在实数范围之里了。 可是，即使在Norm前面，我们限定t>0，也无济于事，我真是无语了。 同样的，ReIm也无力。
- 04
所以，我用Part强行把实部和虚部分开。然后在计算模长。 令a=z^3+3 z+ 2 I; b=ComplexExpand[z^3+3 z+ 2 I] 运行结果是：3Cos[t]+Cos[3t]+I*(2+3Sin[t]+Sin[3t]) 那么，a的实部和虚部就可以求出来。 注意，最后那一步化简，用的是模长^2。 知道了模长表达式，在用Maximize，就可以求出最大值。
- 05
看看单位圆是怎么变成那另一个图形的。 z=E^(I t);a=z^3+3 z+ 2 I; ReIm[(1-n) z+n a]的图像，随着n的变化而变化： Manipulate[ParametricPlot[ReIm[(1-n) z+n a],{t,0,2 Pi}],{n,0,1}]